LEHRSTUHL

THEORETISCHE

ELEKTROTECHNIK

Anregung transversal elektrischer Wellen in einer abgeschlossenen Parallelplattenleitung

Die Animation zeigt die Feldlinien (magnetisches Feld) der sich ausbreitenden TE-Wellen in einer Parallelplattenleitung.

1.) Aufbau der Anordnung

Zwei in \(x\)-Richtung unendlich ausgedehnte Platten werden im Abstand \(a\) zueinander Angebracht. Durch eine dritte Platte werden diese an der Stelle \(z=0\) kurzgeschlossen. Die Platten werden als perfekte elektrische Leiter (PEC) angenommen. Das Medium zwischen den Platten ist linear, homogen und isotrop mit den Parametern \(\mu\) und \(\varepsilon\). An der Stelle \(z=b\) wird ein in positiver \(x\)-Richtung zeigender Strombelag eingeprägt: \begin{equation} \textbf{K}=K_0\cdot\cos\left(\frac{\pi}{a}\,y\right)\cdot\mbox{e}^{\mbox{j}\omega t}\,\textbf{e}_x \end{equation} Der Aufbau ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

2.) Theoretische Herleitung

Ausgehend vom magnetischen Vektorpotential: \begin{equation} \Delta\textbf{A}-\varepsilon\mu\,\frac{\partial^2}{\partial t^2}\textbf{A}=\textbf{0} \text{,} \end{equation} wird mithilfe des Separationsansatzes: \begin{equation} A_x=X(x)\cdot Y(y)\cdot Z(z)\cdot T(t) \text{,} \end{equation} und den Randbedingungen für \(y=0\), \(y=a\), \(z=0\) und \(z=b\) ein allgemeiner Ansatz bei \(x\)-gerichteter Anregung erstellt: \begin{equation} A_{x\,n}=\frac{4K_0n\mu}{\pi\beta_n(n^2-1)}\frac{\sin(\beta_nb)}{\exp{\text{j}\beta_nb}}\sin\left(\frac{n\pi}{a}y\right)\mbox{e}^{\text{j}\omega t} \begin{aligned} \begin{cases} \sin(\beta_nz)/\sin(\beta_nb) & 0<\text{z}<\text{b}\\ \exp{-\text{j}\beta_n(z-b)} & z>b \text{.} \end{cases} \end{aligned} \end{equation} Dabei gilt: \begin{equation} n=2,4,6,...\qquad\mbox{und}\qquad\beta_n= \sqrt{\varepsilon\mu\omega^2-\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2}\text{.} \end{equation} Die Feldlinien werden durch die Höhenlinien der Funktion \(\Phi\) dargestellt (siehe "Strahlungsfeld des Hertzschen Dipols"): \begin{equation} \Phi_n= \frac{4K_0n}{\pi\beta_n(n^2-1)}\cdot\sin\left(\frac{n\pi}{a}y\right) \begin{aligned} \begin{cases} \sin(\beta_nz)\cdot\cos(\omega t-\beta_nb) & 0<\text{z}<\text{b}\\ \sin(\beta_nb)\cdot\cos(\omega t-\beta_nz) & z>b \text{.} \end{cases} \end{aligned} \end{equation}

3. ) Literatur